概率论与数理统计-事件的概率

Lengyueyang

2017-04-08 19:26

Comments

概述

概率论与数理统计的学习部分用以下书籍

陈希儒, (2009). 概率论与数理统计. : 中国科技大学出版社.
陈希儒, 倪. (2009). 数理统计学教程. : 中国科技大学出版社.
高惠璇, (2005). 应用多元统计分析. : 北京大学出版社.

概率是什么

主观概率

主观概率含义：为根据其经验和知识及利害关系的一种心态或倾向性，许多决策都包含个人判断成分，即主观概率

主观概率特点：不是在坚实的客观理由基础上为人们所公认；但不能从科学角度简单的全盘否定，（a）该概念有广泛的生活基础；（b）可能反映认识主体的一种倾向性，而有其社会意义；（c）在涉及利益得失的决策中，处于不同地位和掌握情报多少不同的人，对某事件可能性大小要参照这些情况及可能的后果去做衡量

试验与事件

试验：人为主动

事件：统计学中所说的事件不是已经发生了的事情，而是某种(或某些)情况下的“陈述”，也可能不发生，发生与否，需要到有关“试验”有了结果之后才能知晓。

事件的含义：在概率论中，“事件”一词有以下含义：1) 有一个明确的试验；2) 这个试验的全部可能结果，在试验前就是明确的；3) 有一个明确的陈述，界定了试验全部可能结果中的一个确定部分。

在概率论中，单一的试验结果称为“基本事件”，一个或一些基本事件并在一起，构成一个事件。

古典概率

$\begin{de}[古典概率的定义] \end{de}$

设一个试验有 N 个等可能的结果，而事件 E 恰包含其中的 M 个结果，则事件 E 的概率，记为 P(E)，定义为

$\begin{equation} P(E) = M/N \end{equation}$

古典概率是客观的，古典概率的计算主要基于排列组合

古典概率的局限性：古典概率只能用于全部试验结果为有限个，且等可能成立的情况。

概率的统计学定义

实用角度：通过实验去估计事件概率的方法

$\begin{de}[概率统计学定义] \end{de}$

通常，把事件 E 的概率定义为具有如下性质的一个数 p：当把试验重复时，E 的频率在 p 的附近摆动，且当重复次数增大时，摆动越来越小，或者说，概率就是当试验次数无限增大时频率的极限。

概率统计学定义的意义：1) 提供了估计概率的方法；2) 提供了一种检验理论正确与否的准则，这类问题属于假设检验的范畴。

概率的公理化定义

1993 年前苏联大数学家柯尔莫哥洛夫实现概率论的公理化，柯氏公理体系：

概率是事件的函数
函数的定义域为抽象的集合，该集合的元素为基本事件
概率值属于[0,1]
由集合所有元素构成事件的概率为 1
事件为空集的概率为 0

柯氏公理的意义：为一种普遍而严格的数学化概率理论奠定了基础

古典概率的计算

排列组合的几个简单公式

古典概率归结为计算两个数 M 和 N，这种计算大多涉及排列组合

个相异物件取 ( $1 ⩽ r ⩽ n$ ) 个的不同排列总数，为 $P_r^n = n(n-1)(n-2)...(n-r+1) = n!/(n-r)!$
个相异物件取 ( $1 ⩽ r ⩽ n$ ) 个的不同组合总数，为 $C_r^n = P_r^n/r! = n(n-1)(n-2)...(n-r+1)/r! = n!/r!(n-r)!$ ，通常 $C_r^n$ (或 $C_n^r$ ) 也记作 $\binom{n}{r}$ ，即有 $\binom{n}{r} = n!/r!(n-r)!$
与二项式展开的关系：组合系数常称为二项式系数，即 $(a+b)^n = \sum_{i = 0}^n\binom{n}{i}a^ib^{n-i}$ ，另外一个有用的公式是 $\binom{m + n}{k} = \sum_{i = 0}^n\binom{m}{i}\binom{n}{k i}$
n 个相异物件分成 k 堆，各堆物件数分别为 $r_1, ⋯ , r_k$ 的分法： $n!/(r_1!, ⋯ ,r_k!)$

古典概率计算举例

古典概率的计算需要根据具体题目，利用捆绑法、插孔法等，这里强调一点，n 个人排成一列的排列数时 $n!$ 个，而排成一个圆圈则时 $(n-1)!$

事件的运算、条件概率与独立性

事件的蕴含、包含和相等

在同一试验下的两事件 A 和 B，如果当 A 发生时 B 必发生，则称 A 蕴含 B，或者说 B 包含 A，记作 $A ⊂ B$ ；若 A，B 互相蕴含，则称 A，B 两事件相等，记为 $A = B$

事件的互斥和对立

互斥：两事件不在同一次试验中发生，则称它们是互斥的。如果一些事件中的任意两个都互斥，则称这些事件是两两互斥的，简称互斥

对立：是互斥事件的一种重要情况，若 A 为一事件，则 B={A 不发生}，为 A 的对立事件，记为 $\bar{A}$

事件的和（并）

定义一个事件：指出它何时发生，何时不发生

事件的和：设有两事件 A，B，则定义事件 C={A 发生，或 B 发生}={A，B 至少一个发生}为事件 A 和事件 B 的和

事件和推广到多个事件的情形同上

概率的加法定理

$\begin{thm}[概率的加法定理] \end{thm}$

若干个互斥事件之和的概率，等于各事件的概率之和，即

$\begin{equation} P(A_1 + A_2 + \dots + A_n) = P(A_1) + P(A_2) + \dots + P(A_n) \end{equation}$

推广：若 $\bar{A}$ 表示 A 的对立事件，则 $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

事件的积（交）、事件的差

事件的积：设有两事件 A，B，则定义事件 C={A，B 都发生}为两事件之积

事件的差：事件 A 和事件 B 的差 A-B = {A 发生，B 不发生}

事件的积和差服从结合率和分配率

事件的和、差和积的运算需要用逻辑思维方式验证，与纯数学运算不同，例如对与事件 A， $A + A = A$ $AA = A$

条件概率

无条件概率定义：不加入其他条件或假定所计算出的概率

$\begin{de}[条件概率定义] \end{de}$

在附加一定条件下所计算的概率。附加条件形式可归结为“已知某时间发生了”。设有两事件 A，B，而 P(B)非 0，则“在给定 B 发生的条件下 A 的条件概率” ，记为 $P(A|B)$ ，定义为

$\begin{equation} P(A|B) = P(AB)/P(B) \end{equation}$

条件概率的计算：利用定义(1)；直接从加入条件后改变了的情况计算

事件的独立性，概率乘法定理

$\begin{de}[两事件独立性定义] \end{de}$

两件事情 A，B 若满足 $P(AB) = P(A)P(B)$ ，则称 A，B 独立

$\begin{thm}[概率乘法定理] \end{thm}$

两独立事件之积的概率等于其各自概率之积，即

$\begin{equation} P(AB) = P(A)P(B) \end{equation}$

$\begin{de}[多事件独立性定义] \end{de}$

设 $A_1, A_2, ...$ 为有限或无限个事件，如果从其中任意取出有限个 $A_{i_1}, A_{i_2}, \dots , A_{i_m}$ 都成立 $P(A_{i_1}A_{i_2} \dots A_{i_m}) = P(A_{i_1})P(A_{i_2})\dots P(A_{i_m})$ ，则称事件 $A_1, A_2, ...$ 相互独立，或简称独立

$\begin{thm}[多个独立事件概率乘法定理] \end{thm}$

若干个事件 $A_1, A_2, \dots , A_n$ 之积的概率，等于各事件概率的乘积，即

$\begin{equation} P(A_1A_2\dots A_n) = P(A_1)P(A_2)\dots P(A_n) \end{equation}$

$\begin{cor}[独立事件推论-1] \end{cor}$

独立事件的任一部分也独立

$\begin{cor}[独立事件推论-2] \end{cor}$

若一系列事件相互独立，则将其中任一部分改为对立事件时，所得事件列仍为相互独立

两两独立：一些事件中任意两个事件都独立，则称它们两两独立

相互独立必推出两两独立，反之不一定对

全概率公式与贝叶斯公式

$\begin{de}[完备时间群定义] \end{de}$

设 $B_1, B_2, \dots$ 为有限或无限个事件，他们两辆互斥且每次试验中至少发生一个，可以用下列式子表示 $B_iB_j = ∅$ ， $B_1 + B_2 + \dots = Ω$ ，把具有这些性质的一组事件称为一个“完备事件群”

$\begin{de}[全概率公式定义] \end{de}$

由原因推导结果，考虑一事件 A，因 Ω 是必然事件，有 $A = AΩ = AB_1 + AB_2 + \dots$ ，再由条件概率的定义，有 $P(AB_i) = P(B_i)P(A|B_i)$ ，带入上式，得到，

$\begin{equation} P(A) = P(B_1)P(A|B_1) + P(B_2)P(A|B_2) + \dots \end{equation}$

全概率公式的理解：

在较复杂的情况下，直接计算 $P(A)$ 不容易，但 A 总伴随某个 $B_i$ 出现，适当构造一组 $B_i$ ，可以简化计算；
从另一个角度理解这个公式，把 $B_i$ 看成是导致事件 A 发生的一种途径，不同的途径，P(A|B)是不通的。在这种情况下，A 的综合概率 P(A|B)应该在最小的 P(A|B_i)和最大的之间。

$\begin{de}[贝叶斯公式定义] \end{de}$

在全概率公式的假定之下，贝叶斯公式表示如下

$\begin{equation} \begin{split} P(B_i|A) &= P(B_iA)/P(A) = P(AB_i)/P(AB) \\ &= P(B_i)P(A|B_i)/\sum_jP(B_j)P(A|B_j) \end{split} \end{equation}$

贝叶斯公式的意义：1) 由结果推导原因；2) 在统计学上，依靠收集收集推断答案，正是贝叶斯公式的用武之地。

例题

$\begin{exus} \end{exus}$

假定某种病菌在全人口的带菌率为 10%，又在检测时，带菌者呈阳、阴性反应的概率为 0.95 和 0.05，而不带菌者呈阳、阴性反应的概率则为 0.01 和 0.99。今某人独立地检测三次，发现 2 次呈阳性反应、1 次阴性反应。求“该人为带菌者”的概率是多少?

解答：假设事件 $A_1$ 为带菌，事件 $A_2$ 为不带菌，事件 $B_1$ 为试验测定为阳性，事件 $B_2$ 为试验测定为阴性，事件 $C$ 是做三次重复试验，则由题目可知， $P(A_1) = 0.1$ ， $P(B_1|A_1) = 0.95$ ， $P(B_2|A_1) = 0.05$ ， $P(B_1|A_2) = 0.01$ ， $P(B_2|A_2) = 0.99$ ，而且 $A_1$ 和 $A_2$ ， $B_1$ 和 $B_2$ 都分别组成一个完备事件群，于是，根据全概率公式(1)可知， $P(B_1) = P(B_1A_1) + P(B_1A_2) = P(A_1)P(B_1|A_1) + P(A_2)P(B_1|A_2) = \\ 0.1*0.95 + 0.9*0.01 = 0.104$ $P(C|A_1) = P(B_1B_1B_2|A_1) = \binom{3}{2}*0.95^2*(1-0.95) = 0.135375$ $P(C|A_2) = P(B_1B_1B_2|A_2) = \binom{3}{2}*0.01^2*(1-0.01) = 0.000297$ 于是，我们要求的值 $P(A_1|C)$ 即： $\begin{split}P(A_1|C) &= P(A_1)P(C|A_1)/(P(A_1)P(C|A_1)+ P(A_2)P(C|A_2)) \\ &= 0.1*0.135375/(0.1*0.135375 + 0.9*0.000297) = 0.981\end{split}$

推广：假设改病人只测一次是阳性，求带菌概率，则 $\begin{split}P(A_1|B_1) &= P(A_1)P(B_1|A_1)/(P(A_1)P(B_1|A_1)+ P(A_2)P(B_1|A_2)) \\ &= 0.1*0.0.95/(0.1*0.95 + 0.9*0.01) = 0.913\end{split}$ 同样，如果病人测定两次都是阳性事件为 $D$ ，则带菌概率为 $\begin{split}P(A_1|D) &= P(A_1)P(D|A_1)/(P(A_1)P(D|A_1) + P(A_2)P(D|A_2)) \\ &= 0.1*0.95^2/(0.1*0.95^2 + 0.9*0.01^2) = 0.9990\end{split}$ 若病人测定两次是一阳一阴为事件 $E$ ，则带菌概率为 $\begin{split}P(A_1|E) &= P(A_1)P(E|A_1)/(P(A_1)P(E|A_1) + P(A_2)P(E|A_2)) \\ &= 0.1*2*0.95*0.05/(0.1*2*0.95*0.01 + 0.9*2*0.01*0.99) = 0.652\end{split}$ 若病人测定三次是一阳两阴为事件 $F$ ，则带菌概率为 $\begin{split}P(A_1|F) &= P(A_1)P(F|A_1)/(P(A_1)P(F|A_1) + P(A_2)P(F|A_2)) \\ &= 0.1*3*0.95*0.05^2/(0.1*3*0.95*0.01^2 + 0.9*3*0.01*0.99^2) = 0.0027\end{split}$ 若病人测定三次是三阳为事件 $G$ ，则带菌概率为 $\begin{split}P(A_1|G) &= P(A_1)P(G|A_1)/(P(A_1)P(G|A_1) + P(A_2)P(G|A_2)) \\ &= 0.1*0.95^3/(0.1*0.95^3 + 0.9*0.01^3) = 0.999895\end{split}$ 若病人测定三次是三阴为事件 $H$ ，则带菌概率为 $\begin{split}P(A_1|H) &= P(A_1)P(H|A_1)/(P(A_1)P(H|A_1) + P(A_2)P(H|A_2)) \\ &= 0.1*0.05^3/(0.1*0.05^3 + 0.9*0.99^3) = 0.000014\end{split}$

$\begin{remark} \end{remark}$

病菌在全球人口的带菌率越低，则一次检验阳性说明其带菌的概率越小，生物医学中的其他检测类似；
针对这道题目推广，病人只检测一次是阳性，其带菌概率为 0.913，说服力不够，如果再测一次，也为阳性，那其带菌带菌概率为 0.9990，基本可以确定其带菌，同样，阴性也是测量两次，但如果测量第二次，结果是阴性，其带菌概率为 0.652，可以进行第三次测量，若第三次是阳性，其带菌概率为 0.981，基本可以确定其带菌，若第三次为阴性，其带菌概率为 0.0027，可以认为其不带菌，综上，就本试验，测定三次可以确定病人是否带菌。

参考网页

http://blog.csdn.net/zhang22huan/article/details/8457037

Creative Commons licensing

TITLE: 概率论与数理统计-事件的概率
AUTHOR: lengyueyang
DATE: 2017-04-08 19:26:52 UTC+08:00
UPDATED:
LICENSE: The blog is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 4.0 International License, commercial use is not allowed, for any reprint, please indicate address and signature.

Table of Contents

概述