概率论与数理统计-事件的概率
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概述
概率论与数理统计的学习部分用以下书籍
- 陈希儒, (2009). 概率论与数理统计. : 中国科技大学出版社.
- 陈希儒, 倪. (2009). 数理统计学教程. : 中国科技大学出版社.
- 高惠璇, (2005). 应用多元统计分析. : 北京大学出版社.
概率是什么
主观概率
主观概率含义:为根据其经验和知识及利害关系的一种心态或倾向性,许多决策都包含个人判断成分,即主观概率
主观概率特点:不是在坚实的客观理由基础上为人们所公认;但不能从科学角度简单的全盘否定,(a)该概念有广泛的生活基础;(b)可能反映认识主体的一种倾向性,而有其社会意义;(c)在涉及利益得失的决策中,处于不同地位和掌握情报多少不同的人,对某事件可能性大小要参照这些情况及可能的后果去做衡量
试验与事件
试验:人为主动
事件:统计学中所说的事件不是已经发生了的事情,而是某种(或某些)情况下的“陈述”,也可能不发生,发生与否,需要到有关“试验”有了结果之后才能知晓。
事件的含义:在概率论中,“事件”一词有以下含义:1) 有一个明确的试验;2) 这个试验的全部可能结果,在试验前就是明确的;3) 有一个明确的陈述,界定了试验全部可能结果中的一个确定部分。
在概率论中,单一的试验结果称为“基本事件”,一个或一些基本事件并在一起,构成一个事件。
古典概率
设一个试验有 N 个等可能的结果,而事件 E 恰包含其中的 M 个结果,则事件 E 的概率,记为 P(E),定义为
古典概率是客观的,古典概率的计算主要基于排列组合
古典概率的局限性:古典概率只能用于全部试验结果为有限个,且等可能成立的情况。
概率的统计学定义
实用角度:通过实验去估计事件概率的方法
通常,把事件 E 的概率定义为具有如下性质的一个数 p:当把试验重复时,E 的频率在 p 的附近摆动,且当重复次数增大时,摆动越来越小,或者说,概率就是当试验次数无限增大时频率的极限。
概率统计学定义的意义:1) 提供了估计概率的方法;2) 提供了一种检验理论正确与否的准则,这类问题属于假设检验的范畴。
概率的公理化定义
1993 年前苏联大数学家柯尔莫哥洛夫实现概率论的公理化,柯氏公理体系:
- 概率是事件的函数
- 函数的定义域为抽象的集合,该集合的元素为基本事件
- 概率值属于[0,1]
- 由集合所有元素构成事件的概率为 1
- 事件为空集的概率为 0
柯氏公理的意义:为一种普遍而严格的数学化概率理论奠定了基础
古典概率的计算
排列组合的几个简单公式
古典概率归结为计算两个数 M 和 N,这种计算大多涉及排列组合
- 个相异物件取 (
) 个的不同排列总数,为
- 个相异物件取 (
) 个的不同组合总数,为
,通常
(或
) 也记作
,即有
- 与二项式展开的关系:组合系数常称为二项式系数,即
,另外一个有用的公式是
- n 个相异物件分成 k 堆,各堆物件数分别为
的分法:
古典概率计算举例
古典概率的计算需要根据具体题目,利用捆绑法、插孔法等,这里强调一点,n 个人排成一列的排列数时 个,而排成一个圆圈则时
事件的运算、条件概率与独立性
事件的蕴含、包含和相等
在同一试验下的两事件 A 和 B,如果当 A 发生时 B 必发生,则称 A 蕴含 B,或者说 B 包含 A,记作 ;若 A,B 互相蕴含,则称 A,B 两事件相等,记为
事件的互斥和对立
互斥:两事件不在同一次试验中发生,则称它们是互斥的。如果一些事件中的任意两个都互斥,则称这些事件是两两互斥的,简称互斥
对立:是互斥事件的一种重要情况,若 A 为一事件,则 B={A 不发生},为 A 的对立事件,记为
事件的和(并)
定义一个事件:指出它何时发生,何时不发生
事件的和:设有两事件 A,B,则定义事件 C={A 发生,或 B 发生}={A,B 至少一个发生}为事件 A 和事件 B 的和
事件和推广到多个事件的情形同上
概率的加法定理
若干个互斥事件之和的概率,等于各事件的概率之和,即
推广:若 表示 A 的对立事件,则
事件的积(交)、事件的差
事件的积:设有两事件 A,B,则定义事件 C={A,B 都发生}为两事件之积
事件的差:事件 A 和事件 B 的差 A-B = {A 发生,B 不发生}
事件的积和差服从结合率和分配率
事件的和、差和积的运算需要用逻辑思维方式验证,与纯数学运算不同,例如对与事件 A,
条件概率
无条件概率定义:不加入其他条件或假定所计算出的概率
在附加一定条件下所计算的概率。附加条件形式可归结为“已知某时间发生了”。设有两事件 A,B,而 P(B)非 0,则“在给定 B 发生的条件下 A 的条件概率” ,记为,定义为
条件概率的计算:利用定义(1);直接从加入条件后改变了的情况计算
事件的独立性,概率乘法定理
两件事情 A,B 若满足,则称 A,B 独立
两独立事件之积的概率等于其各自概率之积,即
设 为有限或无限个事件,如果从其中任意取出有限个
都成立
,则称事件
相互独立,或简称独立
若干个事件 之积的概率,等于各事件概率的乘积,即
独立事件的任一部分也独立
若一系列事件相互独立,则将其中任一部分改为对立事件时,所得事件列仍为相互独立
两两独立:一些事件中任意两个事件都独立,则称它们两两独立
相互独立必推出两两独立,反之不一定对
全概率公式与贝叶斯公式
设 为有限或无限个事件,他们两辆互斥且每次试验中至少发生一个,可以用下列式子表示
,
,把具有这些性质的一组事件称为一个“完备事件群”
由原因推导结果,考虑一事件 A,因 Ω 是必然事件,有 ,再由条件概率的定义,有
,带入上式,得到,
全概率公式的理解:
- 在较复杂的情况下,直接计算
不容易,但 A 总伴随某个
出现,适当构造一组
,可以简化计算;
- 从另一个角度理解这个公式,把
看成是导致事件 A 发生的一种途径,不同的途径,P(A|B)是不通的。在这种情况下,A 的综合概率 P(A|B)应该在最小的 P(A|Bi)和最大的之间。
在全概率公式的假定之下,贝叶斯公式表示如下
贝叶斯公式的意义:1) 由结果推导原因;2) 在统计学上,依靠收集收集推断答案,正是贝叶斯公式的用武之地。
例题
假定某种病菌在全人口的带菌率为 10%,又在检测时,带菌者呈阳、阴性反应的概率为 0.95 和 0.05,而不带菌者呈阳、阴性反应的概率则为 0.01 和 0.99。今某人独立地检测三次,发现 2 次呈阳性反应、1 次阴性反应。求“该人为带菌者”的概率是多少?
解答:假设事件 为带菌,事件
为不带菌,事件
为试验测定为阳性,事件
为试验测定为阴性,事件
是做三次重复试验,则由题目可知,
,
,
,
,
,而且
和
,
和
都分别组成一个完备事件群,于是,根据全概率公式(1)可知,
于是,我们要求的值
即:
推广:假设改病人只测一次是阳性,求带菌概率,则
同样,如果病人测定两次都是阳性事件为
,则带菌概率为
若病人测定两次是一阳一阴为事件
,则带菌概率为
若病人测定三次是一阳两阴为事件
,则带菌概率为
若病人测定三次是三阳为事件
,则带菌概率为
若病人测定三次是三阴为事件
,则带菌概率为
- 病菌在全球人口的带菌率越低,则一次检验阳性说明其带菌的概率越小,生物医学中的其他检测类似;
- 针对这道题目推广,病人只检测一次是阳性,其带菌概率为 0.913,说服力不够,如果再测一次,也为阳性,那其带菌带菌概率为 0.9990,基本可以确定其带菌,同样,阴性也是测量两次,但如果测量第二次,结果是阴性,其带菌概率为 0.652,可以进行第三次测量,若第三次是阳性,其带菌概率为 0.981,基本可以确定其带菌,若第三次为阴性,其带菌概率为 0.0027,可以认为其不带菌,综上,就本试验,测定三次可以确定病人是否带菌。
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TITLE: 概率论与数理统计-事件的概率
AUTHOR: lengyueyang
DATE: 2017-04-08 19:26:52 UTC+08:00
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