高等代数-线性方程组的解法

概述

高等代数的学习部分用以下书籍

邱维声, (2010). 高等代数. : 清华大学出版社. Hom, R. A. (2014). 矩阵分析. : 机械工业出版社. 张贤达, (2013). 矩阵分析与应用. : 清华大学出版社.

解线性方差组的矩阵消元法

左端都是未知量 \(x_1, x_2, \dots , x_n\) 的一次其次式,右端是常数的方程组称为线性方程组,每个未知量前面的数称为系数,右端的项称为常数项。为了书写简便,对于一个线性方程组,可以只写出它的系数和常数项,并且把它们按照原来的次序排成一张表,这张表称为线性方程组的 增广矩阵 ,只列出系数的的表称为方程组的系数矩阵。

含 n 个未知量的线性方程组称为 n 元线性方程组 ,它的一般形式如下,其中, \(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{sn}\) 是系数, \(b_1, b_2, \dots, b_s\) 是常数项,方程的个数 s 与未知量的个数 n 可以相等,也可以不等。

\begin{equation}
\left\{
\begin{split}
&a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1&, \\
&a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2&, \\ 
&\dots  &, \\
&a_{s1}x_1 + a_{s2}x_2 + \dots + a_{sn}x_n = b_s&,
\end{split}
\right
\end{equation}

对于线性方程组(1),如果 \(x_1, x_2, \dots , x_n\) 分别用数 \(c_1, c_2, \dots , c_n\) 代入后,每个方程变成恒等式,称 n 元有序数组 \((c_1, c_2, \dots , c_n)\) 是线性方程组(1) 的 一个解 ,其所有解组成的集合称为这个方程组的 解集

线性方程组的初等变换:1,把一个方程的倍数加到另外一个方程上;2,互换两个方程的位置;3,用一个非零数乘某一个方程;经过一系列初等变换成的简化阶梯形方程组与原线性方程组同解。

\begin{de}[矩阵定义]
\end{de}

\(s \cdot m\) 个数排成 s 行、m 列的一张表,称为一个 \(s \times m\)矩阵 ,其中的每一个数称为这个矩阵的一个元素,第 i 行与第 j 列交叉的位置,称为矩阵的 \((i, j)\) 元.

元素全为 0 的矩阵称为零矩阵,简记作 0,s 行 m 列的零矩阵记作 \(0_{s \times m}\) , 如果一个矩阵的行数和列数相等, 则乘它为方阵, m 行 m 列的矩阵也称为 m 级矩阵. 矩阵通常用大写字母 A 表示, 一个 \(s \times m\) 的矩阵可以简单记作 \(A(i, j)\) , 如果矩阵 A 的 \((i, j)\) 元是 \(a_{ij}\) ,可以记作 \(A = a_{ij}\).

矩阵的求解过程: 先将增广矩阵变化成阶梯形矩阵, 其特点是: 元素全为 0 的行(称为零行)在下方(如果有零行的话), 元素不为 0 的行(称为非零行), 从左边数起第一个不为 0 的元素(称为主元), 他们的列指标随着行指标的递增而严格增大. 之后再将阶梯形矩阵转化成简化阶梯形矩阵, 其特点是: 是阶梯形矩阵, 每个非零行主元都是 1, 每个主元所在的列其余元素都是 0.

\begin{thm}[阶梯形矩阵定理]
\end{thm}

任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换化成阶梯形矩阵.

\begin{cor}[阶梯形矩阵推论]
\end{cor}

任意一个矩阵都可以经过一系列的初等行变换化成简化阶梯形矩阵.

线性方程组的解的情况:将线性方程组的的增广矩阵经初等行变换化成简化阶梯型矩阵,如果相应的阶梯型方程组出现 \(0 = d (d ≠ 0)\) 这样的方程,则原方程组无解;如果非零行的个数等于方程组未知量的个数, 则原方程组有唯一解, 如果非零行的个数小于未知量的个数, 则原方程有无群多个解.

digraph graphname {
  graph [ dpi = 300 ]; 
  node [color=Blue, fontcolor=Blacd, fontsize=16, shape=box]

  A [label="线性方程组的增广矩阵"];
  B [label = "阶梯型矩阵"];
  C [label = "写出阶梯型方程组"];
  D [label = "简化行阶梯形矩阵"];
  E [label = "求解"];
  F [label = "写出解"];

  A -> B [label = " 矩阵的初等行变换"];
  B -> C [label = " 或者"];
  B -> D [label = " 矩阵的初等行变换"];
  C -> E;
  D -> F;

}

线性方程组的解的情况及其判别准则

\begin{thm}[高斯(Gauss)-约当(Jordan)算法定理]
\end{thm}

系数和常数项为有理数(或实数, 或复数)的 n 元线性方程组的解法有三种情况: 无解, 有唯一解, 有无群多个解. 把 n 元线性方程组的增广矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵, 如果相应的阶梯型方程组出现 "0=d(其中 d 是非零数)" 这种方程, 那么原方程组无解, 否则, 无解. 当有解时, 如果阶梯形矩阵的非零行数目 r 等于未知量数目 n, 那么原方程组有唯一解; 如果 r<n, 那么原方程组有无群多个解.

如果一个线性方程组有解, 称它是相容的, 否则, 是不相容的. 常数项全为 0 的线性方程组称为 齐次线性方程组. \(0, 0, \cdots, 0\) 是齐次线性方程组的一个解, 称为 零解; 其余的解称为非零解. 如果一个齐次线性方程组有非零解, 那么它有无穷多个解.

\begin{cor}[高斯(Gauss)-约当(Jordan)算法定理推论一]
\end{cor}

n 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是: 它的系数矩阵经过初等行变换化成阶梯形矩阵中, 非零行的数目 \(r &lt; n\).

\begin{cor}[高斯(Gauss)-约当(Jordan)算法定理推论二]
\end{cor}

n 元齐次线性方程组如果方程的数目 s 小于未知量的个数 n, 那么它一定有非零解.

digraph graphname {
  graph [ dpi = 300 ]; 
  node [color=Blue, fontcolor=Blacd, fontsize=16, shape=box]

  A [label="线性方程组的增广矩阵"];
  B [label = "阶梯型矩阵"];
  C [label = "相应的阶梯型方程组出现 \n '0=d(其中 d 不等于 0)'"];
  D [label = "原方程组无解"];
  E [label = "初等行变换"];
  F [label = "简化行阶梯型矩阵"];
  G [label = "非零行数目=未知量数目?"];
  H [label = "原方程组有唯一解 \n 可立即写出解"];
  I [label = "有无群多个解, \n 可写出一般解"];

  A -> B [label = " 矩阵的初等行变换"];
  B -> C ;
  B -> E;
  C -> D [label = " 是"];
  C -> E [label = " 否"];
  E -> F;
  F -> G;
  G -> H [label = " 是"];
  G -> I [label = " 否"];

}

数域

\begin{de}[数域定义]
\end{de}

复数集的一个子集 K 如果满足下式, 则称 K 为一个 数域.

\begin{flalign*}
\begin{split}
\qquad (1)\ &amp; 0,1 \in K \\
\qquad (2)\ &amp; a,b \in K ⟹ a \pm b, ab \in K, \\
     &amp; a,b \in K, and \, b \ne 0 ⟹ \frac{a}{b} \in K. \\
\end{split}&amp;
\end{flalign*}

有理数集 Q, 实数集 R 和复数集 C 都是术语, 整数集 Z 不是数域, 有理数域是最小的数域.

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TITLE: 高等代数-线性方程组的解法
AUTHOR: lengyueyang
DATE: 2017-08-07 19:26:52 UTC+08:00
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